题目内容
设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}．若A∪B=R，求实数a的取值范围．
考点：并集及其运算
专题：集合
分析：根据不等式的性质求解集合，利用集合的并集关系即可得到结论．
解答：
解：若a=1，则集合A=R，满足条件A∪B=R，
若a＞1，则A={x|（x-1）（x-a）≥0}={x|x≥a或x≤1}，
要使A∪B=R，则a-1≤1，即a≤2，此时1＜a≤2，
若a＜1，则A={x|（x-1）（x-a）≥0}={x|x≥1或x≤a}，
要使A∪B=R，则a-1≤a，即-1≤0，恒成立，此时a＜1，
综上a≤2，
即实数a的取值范围是（-∞，2]．
若a＞1，则A={x|（x-1）（x-a）≥0}={x|x≥a或x≤1}，
要使A∪B=R，则a-1≤1，即a≤2，此时1＜a≤2，
若a＜1，则A={x|（x-1）（x-a）≥0}={x|x≥1或x≤a}，
要使A∪B=R，则a-1≤a，即-1≤0，恒成立，此时a＜1，
综上a≤2，
即实数a的取值范围是（-∞，2]．
点评：本题主要考查集合并集的应用，结合一元二次不等式的解法，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．
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