Question

5．一次数学考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的，评分标准规定：“每题只有一个正确选项，答对得5分，不答或答错不得分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，另两道题都可判断有一个选项是错误的，求该考生
（Ⅰ）得60分的概率；
（Ⅱ）所得分数ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“得60分”为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出得60分的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为40，45，50，55，60，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设“得60分”为事件A，
∴得60分的概率P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{36}$．
（Ⅱ）ξ的可能取值为40，45，50，55，60，
$P（ξ=40）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$，
$P（ξ=45）=C_2^1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}C_2^1\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
$P（ξ=50）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+C_2^1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}C_2^1\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{13}{36}$，
$P（ξ=55）=C_2^1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+C_2^1\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=60）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{36}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	40	45	50	55	60
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

$Eξ=\frac{1}{9}×40+\frac{1}{3}×45+\frac{13}{36}×50+\frac{1}{6}×55+\frac{1}{36}×60=\frac{145}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．