Question

11．下列给出了四个结论，其中正确结论的个数是（　　）
①常数数列一定是等比数列；
②在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，则△ABC是锐角三角形；
③若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
④若f（x）=sin²x+sinxcosx，则函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{8}$对称．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据等比数列的定义进行判断，
②根据向量数量积的公式进行判断，
③根据向量数量积的应用进行判断，
④根据三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简进行判断．

解答 解：①非零的常数数列一定是等比数列，当零常数列不是等比数列，故①错误；
②在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，则|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos（π-B）＞0，即-cosB＞0，则cosB＜0．则B是钝角，则△ABC是钝角三角形，故②错误；
③若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则平方得$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$成立，故③正确；
④若f（x）=sin²x+sinxcosx，则f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$得x=$\frac{4k+3π}{8}$，
当k=-1时，x=-$\frac{π}{8}$，即函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{8}$对称．正确，故④正确，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．