Question

（1）已知两圆x²+y²-10x-10y=0，x²+y²+6x-2y-40=0，求它们的公共弦所在直线的方程；
（2）已知圆M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用,轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）将两个圆进行配方得到圆的标准方程，利用圆心和半径之间的关系两圆的位置关系．
（2）利用点M、P、Q在一条直线上，结合由射影定理，可得中点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）两圆的标准方程为（x-5）²+（y-5）²=50，（x+3）²+（y-1）²=50，
所以两圆的圆心分别为A（5，5），B（-3，1），半径分别为r=R=5

2

．
两圆圆心之间的距离为|AB|=

(5+3)2+(5-1) 2

=4

5

，
因为r-R＜4

5

＜r+R，所以两圆相交．
将圆的方程进行相减得2x+y-5=0，
即它们的公共弦所在直线的方程2x+y-5=0．
（2）连接MB，MQ，设P（x，y），Q（a，0），点M、P、Q在一条直线上，当a≠0时，得

2

-a

=

2-y

-x

．②
由射影定理有|MB|²=|MP|•|MQ|，即

x2+(y-2)2

•

a2+4

=1．③
由②及③消去a，并注意到y＜2，可得x²+（y-

7

4

）²=

1

16

（y＜2）．
当a=0时，P点为（0，

3

2

），满足方程x²+（y-

7

4

）²=

1

16

（y＜2）．
∴中点P的轨迹方程为x²+（y-

7

4

）²=

1

16

（y＜2）．

点评：本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的判断，考查轨迹方程的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．．