Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=$\frac{π}{4}$，cosB=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和差的余弦公式，求得cosC的值．
（Ⅱ）若c=$\sqrt{2}$，利用正弦定理求得a的值，可得△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵$cosB=\frac{4}{5}＞0$，∴sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，又 A=$\frac{π}{4}$，
∴$cosC=cos[π-（\frac{π}{4}+B）]=-cos（\frac{π}{4}+B）$
=$-（cos\frac{π}{4}cosB-sin\frac{π}{4}sinB）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{3}{5}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{4}{5}=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$sinC=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．由正弦定理知：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴$a=\frac{{5\sqrt{2}}}{7}$，
∴$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}•\frac{{5\sqrt{2}}}{7}•\sqrt{2}•\frac{3}{5}=\frac{3}{7}$．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，两角和差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．