Question

3．已知直线l₁：x+my+6=0和直线l₂：（m-2）x+3y+2m=0，试分别求实数m的值．
（1）l₁⊥l₂；
（2）l₁∥l₂；
（3）l₁与l₂重合；
（4）相交．

Answer 1

分析 （1）对m分类讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件即可得出．
（2）由l₁∥l₂，可得$\frac{m-2}{1}=\frac{3}{m}≠\frac{2m}{6}$，（m≠0），解得m即可．
（3）l₁与l₂重合，则$\frac{m-2}{1}=\frac{3}{m}=\frac{2m}{6}$，解得m．
（4）m=0时，两条直线分别化为：x+6=0，-2x+3y=0，此时两条直线相交．m≠0时，由$-\frac{1}{m}$≠$-\frac{m-2}{3}$，解得m即可得出．

解答 解：（1）m=0时，两条直线不垂直，舍去．
m≠0，l₁⊥l₂，$-\frac{1}{m}$•$（-\frac{m-2}{3}）$=-1，解得m=$\frac{1}{2}$．
（2）∵l₁∥l₂，∴$\frac{m-2}{1}=\frac{3}{m}≠\frac{2m}{6}$，（m≠0），解得m=-1．
（3）l₁与l₂重合，则$\frac{m-2}{1}=\frac{3}{m}=\frac{2m}{6}$，解得m=3．
（4）m=0时，两条直线分别化为：x+6=0，-2x+3y=0，此时两条直线相交．
m≠0时，由$-\frac{1}{m}$≠$-\frac{m-2}{3}$，解得m≠3，-1．
则m≠3，-1时两条直线相交．

点评 本题考查了两条直线相互平行、互相垂直及其相交的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．