班主任想对本班学生的考试成绩进行分析.决定从全班25名女同学.15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样.男女生各抽取多少位才符合抽样要求?(2)随机抽出8位.他们的数学.地理成绩对应如表:学生编号12345678数学分数x6065707580859095地理分数y7277808488909395①若规定85分以� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？
（2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
地理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率；
②根据如表，用变量y与x的相关系数或散点图说明地理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），如果不具有线性相关关系，请说明理由．
参考公式：
相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{{{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}^{\;}}^{\;}}$；回归直线的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=b$\stackrel{∧}{x}$+a，
其中：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，$\overline{y}$是x_i对应的回归估计值．
参考数据：$\overline{x}$≈77.5，$\overline{y}$≈84.9，$\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=1050，$\sum_{i=1}^{8}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$≈456.9，$\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$≈687.5，$\sqrt{1050}$≈32.4，$\sqrt{456.9}$≈21.4，$\sqrt{550}$≈23.5．

分析（1）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
（2）①根据古典概型的概率公式进行计算即可．
②首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．

解答解：（1）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析
抽取女生数$\frac{25}{40}×8$=5人，男生数$\frac{15}{40}×8$=3人；
（2）①规定85分（含85分）以上为优秀，
一个学生两科都优秀的为6.7.8三个同学，
则两科都优秀的概率是P=$\frac{3}{8}$．
②r=r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{{{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}^{\;}}^{\;}}$$\frac{687.5}{\sqrt{1050×456.9}}=\frac{687.5}{32.4×21.4}$≈0.99，非常接近于1，
∴地理成绩y与数学成绩x之间有较强的线性相关关系，则对应的散点图如图：
∵$\overline{x}$=$\frac{60+65+70+75+80+85+90+95}{8}$=77.5，$\overline{y}$=$\frac{72+77+80+84+88+90+93+95}{8}$=84.9
b≈0.65，a≈34.53
则线性回归方程为：y=0.65x+34.53