Question

19．若不等式|a-2|≤|x+$\frac{1}{x}$|对一切非零实数x恒成立，则实数a的最大值是4．

Answer 1

分析 由题意可得|a-2|≤|x+$\frac{1}{x}$|的最小值，运用基本不等式可得最小值，由绝对值不等式可得a的范围，进而得到a的最大值．

解答 解：不等式|a-2|≤|x+$\frac{1}{x}$|对一切非零实数x恒成立，
即为|a-2|≤|x+$\frac{1}{x}$|的最小值，
由|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=2，当且仅当x=±1取得最小值．
可得|a-2|≤2，解得0≤a≤4．
则a的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用转化思想和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．