Question

已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N +），其中xn为正实数．

（1）用xn表示xn+1；

（2）若x1=4，记an=lg，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；

（3）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由题设条件知曲线y=f（x）在点处的切线方程是．由此可知．所以．（2）由，知，同理．故．由此入手能够导出．（3）由题设知，所以，由此可知．

【解析】
（1）由题可得．

所以曲线在点处的切线方程是：．

即．

令，得．

即．显然，

∴．

（2）由，知，’同理．----6’

故．-----7’

从而，即．所以，数列成等比数列．---8’

故．即．----9’

从而,所以．----10’

（3）由（Ⅱ）知，∴

∴ ---11’

当时，显然．-------12’

当时，-----13’

∴．综上，．

考点：1．数列递推式；2．等比关系的确定；3．数列的求和；4．不等式的证明．