Question

16．已知圆C₁：（x-1）²+（y-3）²=1，圆C₂：（x-6）²+（y-1）²=1，M，N分别是圆C₁，C₂上的动点，P为直线x-y-2=0上的动点，则||PM|-|PN||的最大值为$\sqrt{5}+2$．

Answer 1

分析 分别求出圆C₁，圆C₂的圆心和半径，由于|PM|-|PN|≤（|PC₁|+1）-（|PC₂|-1）=2+|PC₁|-|PC₂|，求出C₂（6，1）关于直线l：x-y-2=0的对称点为C₃（3，4），则2+|PC₁|-|PC₂ |=2+|PC₁|-|PC₃|≤|C₁C₃|+2≤$\sqrt{5}$+2，由此可得|PM|-|PN|的最大值．

解答 解：圆C₁：（x-1）²+（y-3）²=1的圆心为C₁：（1，3），半径等于1，
C₂：（x-6）²+（y-1）²=1的圆心C₂（6，1），半径等于1，
则|PM|-|PN|≤（|PC₁|+1）-（|PC₂|-1）=2+|PC₁|-|PC₂|．
设C₂（6，1）关于直线l：x-y-2=0的对称点为C₃ （ h，k），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k-1}{h-6}×1=-1}\\{\frac{h+6}{2}-\frac{k+1}{2}-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{h=3}\\{k=4}\end{array}\right.$，可得C₃ （3，4）．
则2+|PC₁|-|PC₂ |=2+|PC₁|-|PC₃|≤|C₁C₃|+2≤$\sqrt{5}$+2，
即当点P是直线C₁C₃和直线l的交点时，|PM|-|PN|取得最大值为$\sqrt{5}+2$．
故答案为：$\sqrt{5}+2$．

点评 本题主要考查圆和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的应用，考查了点与圆关于直线的对称问题，属于中档题．