Question

18．在平行四边形ABCD中，已知C（-3，0），D（3，0），点E，F满足$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{DF}=2\overrightarrow{FA}$，且$|\overrightarrow{CF}|-|\overrightarrow{DE}|=4$，则点A的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x≥2）
• C． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{27}$=1（x≥3）

Answer 1

分析 设A（（x，y），则E（$\frac{2x-3}{3}$，$\frac{2}{3}$y），F（$\frac{2x+3}{3}$，$\frac{2}{3}$y），利用$|\overrightarrow{CF}|-|\overrightarrow{DE}|=4$，建立方程，化简即可点A的轨迹方程．

解答 解：设A（（x，y），则E（$\frac{2x-3}{3}$，$\frac{2}{3}$y），F（$\frac{2x+3}{3}$，$\frac{2}{3}$y），
∵$|\overrightarrow{CF}|-|\overrightarrow{DE}|=4$，
∴$\sqrt{（\frac{2x}{3}+4）^{2}+\frac{4}{9}{y}^{2}}$-$\sqrt{（\frac{2x}{3}-4）^{2}+\frac{4}{9}{y}^{2}}$=4，
化简得$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{27}$=1（x≥3），
故选：D．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，正确化简是关键．