Question

18．已知首项为正的数列{a_n}中，相邻两项不为相反数，且前n项和${S_n}=\frac{1}{4}（{a_n}-5）（{a_n}+7）$
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为T_n，对一切正整数n都有T_n≥M成立，求M的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，结合a_n+1=S_n+1-S_n，推出数列是等差数列．
（2）求出数列的通项公式，化简数列的通项公式，求出数列的和，利用数列的单调性求解即可．

解答 （本小题12分）解：（1）证明：∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n-5）（a_n+7），
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=$\frac{1}{4}$（a_n+1-5）（a_n+1+7）-$\frac{1}{4}$（a_n-5）（a_n+7），
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1+a_n）=0，
∴a_n+1-a_n=2或a_n+1+a_n=0．
又相邻两项不为相反数，
∴a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}为公差为2的等差数列．
（2）由S₁=$\frac{1}{4}$（a₁-5）（a₁+7）⇒a₁=7或a₁=-5，
∵数列{a_n}的首项为正，∴a₁=7，
由（1）得a_n=2n+5，
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n+5）（2n+7）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$
∴${T_n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）+（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）+…+（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）]=\frac{1}{2}（\frac{1}{7}-\frac{1}{2n+7}）$
∴数列{T_n}（n∈N^*）在[1，+∞）上是递增数列．
又当n=1时，${T_1}=\frac{1}{63}$
∴要使得对于一切正整数n都有T_n≥M成立，
只要M≤$\frac{1}{63}$，所以M的最大值为$\frac{1}{63}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的判断，以及数列求和，数列的函数特征的应用，考查转化思想以及计算能力．