Question

3．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB且$ac=\frac{1}{4}{b^2}$．若角B为锐角，则p的取值范围是（　　）

• A． $（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$
• B． $（0，\sqrt{2}）$
• C． $（-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）∪（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用基本不等式变形，将第二个等式代入求出p的范围，再由B为锐角，得出cosB的范围，利用余弦定理表示出cosB，整理变形后求出p的范围，综上，得出满足题意p的范围即可．

解答 解：已知等式sinA+sinC=psinB（p＞0），利用正弦定理化简得：a+c=pb＞2$\sqrt{ac}$，
把ac=$\frac{1}{4}$b²代入得：a+c=pb＞b，即p＞1，
∵B为锐角，
∴0＜cosB＜1，即0＜$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-2＜1，
∵$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-2=$\frac{（a+c）^{2}}{2ac}$-3=2p²-3，
∴0＜2p²-3＜1，
解得：$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜p＜$\sqrt{2}$，
综上，p的取值范围为$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜p＜$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．