题目内容
13．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且cosB=$\frac{4}{5}$，b=2．（1）若A=30°，求a；
（2）求△ABC面积的最大值．
分析 （1）因为cosB=$\frac{4}{5}$，所以sinB=$\frac{3}{5}$由正弦定理求出a的值．
（2）由余弦定理，结合基本不等式，求出ac的最大值，即可求出△ABC面积的最大值．
解答 解：（1）在△ABC中，因为cosB=$\frac{4}{5}$，所以sinB=$\frac{3}{5}$，
由正弦定理$\frac{a}{sin30°}$=$\frac{2}{\frac{3}{5}}$，
所以a=$\frac{5}{3}$；
（2）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得4=a2+c2-$\frac{8}{5}$ac≥2ac-$\frac{8}{5}$ac，
∴ac≤10，当且仅当a=c时取等号，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×10×\frac{3}{5}$=3．
点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
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4．xy=0的一个充分不必要条件是（ ）
| A． | x=0且y=0 | B． | x=0或y=0 | C． | x≠0且y≠0 | D． | x≠0或y≠0 |
8．已知α是第三象限角，tanα=$\frac{4}{3}$，则cosα=（ ）
| A． | $\frac{4}{5}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | -$\frac{3}{5}$ | D． | $-\frac{4}{5}$ |
18．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
| A． | ②、③都不能为系统抽样 | B． | ②、④都不能为分层抽样 | ||
| C． | ①、④都可能为系统抽样 | D． | ①、③都可能为分层抽样 |
2．已知定义在（0，$\frac{π}{2}}$）上的函数f（x），f'（x）为其导数，且cosx•f（x）＜f'（x）•sinx恒成立，则（ ）
| A． | $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$） | B． | $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{4}$） | C． | $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$） | D． | f（1）＜2（$\frac{π}{6}$）sin1 |
3．已知a，b，c∈R，下列命题正确的是（ ）
| A． | a＞b⇒a2＞b2 | B． | a＞b⇒2a＞2b | ||
| C． | a＜b⇒$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$ | D． | 1＜a＜b⇒loga2＜logb2 |