题目内容

11．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标课外体育达标合计
男603090
女9020110
合计15050200
（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．
附参考公式与数据：K2=$\frac{n（{ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（K2≥k0）0.100.050.0100.0050.001
k02.7063.8416.6357.87910.828

分析 （1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出K2=$\frac{200}{33}≈6.060＜6.635$，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．
（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为9人，在达标学生中抽取人数为3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）由题意得“课外体育达标”人数为：
200×[（0.02+0.005）×10]=50，
则不达标人数为150，
∴列联表如下：

课外体育不达标课外体育达标合计
男603090
女9020110
合计15050200
∴K2=$\frac{200×（60×20-30×90）^{2}}{150×50×90×110}$=$\frac{200}{33}≈6.060＜6.635$，
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．
（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为：12×$\frac{150}{200}$=9人，
在达标学生中抽取人数为：12×$\frac{50}{200}$=3人，
则ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，
∴ξ的分布列为：
 ξ 0 1 2 3
 P $\frac{21}{55}$ $\frac{27}{55}$ $\frac{27}{220}$ $\frac{1}{220}$
E（ξ）=$0×\frac{21}{55}+1×\frac{27}{55}+2×\frac{27}{220}+3×\frac{1}{220}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求示，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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