Question

5．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{y+2}{x+1}$的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{2}{5}$]∪[4，+∞）
• B． [$\frac{2}{5}$，4]
• C． [2，4]
• D． （-∞，-2]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
z=$\frac{y+2}{x+1}$的几何意义是区域内的点P（x，y）到定点D（-1，-2）的斜率，
由图象知，BD的斜率最小，AD的斜率最大，
A（0，2），B（4，0），
则BD的斜率k=$\frac{0+2}{4+1}$=$\frac{2}{5}$，
AD的斜率k=$\frac{2+2}{0+1}$=4，
即$\frac{2}{5}$≤z≤4，
即z=$\frac{y+2}{x+1}$的取值范围为[$\frac{2}{5}$，4]，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据直线斜率的几何意义是解决本题的关键．