Question

已知函数y=g（x）是定义在[m，n]上的增函数，且0＜n＜-m，设函数f（x）=[g（x）]²-[g（-x）]²，且f（x）不恒等于0，则对于函数y=f（x）以下判断正确的是（　　）

• A、定义域是（m，n）且在定义域内单调递增
• B、定义域是（-n，n）且在定义域内单调递增
• C、定义域是（-n，n）且图象关于原点对称
• D、定义域是（-n，n）且最小值为0

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，得出f（x）的定义域是[-n，n]，且f（x）为奇函数，从而得出正确的选项．

解答：解：根据题意，得：
y=g（x）是定义在[m，n]上的增函数，且0＜n＜-m，
∴f（x）=[g（x）]²-[g（-x）]²中，m≤x≤n，且m≤-x≤n，
又∵0＜n＜-m，∴x的取值范围是-n≤x≤n，即f（x）的定义域是[-n，n]；
∵f（-x）=[g（-x）]²-[g（x）]²=-f（x），且其定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称；
∴满足以上结论的是选项C，即C正确．
故选：C．

点评：本题考查了函数的性质及其应用问题，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，是易错题．