Question

5．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；
（1）求证：CD⊥平面ADD₁A₁
（2）现将与四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状完全相同，则视为同一种拼接方案；问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式（直接写出答案，不必说明理由）．

Answer 1

分析 （1）取DC的中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．
（2）由题意可与左右平面ADD₁A₁，BCC₁B₁，上或下面ABCD，A₁B₁C₁D₁拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．

解答 （1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE²+EC²=（4k）²+（3k）²=（5k）²=BC²，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．
∵侧棱AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥CD，
∵AA₁∩AD=A，∴CD⊥平面ADD₁A₁．
（2）解：由题意可与左右平面ADD₁A₁，BCC₁B₁，上或下面ABCD，A₁B₁C₁D₁拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．
写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=$\left\{\begin{array}{l}{72{k}^{2}+26k，0＜k≤\frac{5}{18}}\\{36{k}^{2}+36k，k＞\frac{5}{18}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了线线、线面的位置关系、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．