Question

11．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1，若$\overrightarrow{e}$为平面单位向量，则|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{e}$|的最大值是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由题意可知，|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{e}$|为$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$上的投影的绝对值与$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{e}$上投影的绝对值的和，由此可知，当$\overrightarrow{e}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$共线时，|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{e}$|取得最大值，即$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$．

解答 解：|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{e}$|=$|\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}}{|\overrightarrow{e}|}|+|\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{e}}{|\overrightarrow{e}|}|$，
其几何意义为$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$上的投影的绝对值与$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{e}$上投影的绝对值的和，
当$\overrightarrow{e}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$共线时，取得最大值．
∴$（|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}|+|\overrightarrow{b}•\overrightarrow{e}|）_{max}=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}=\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．