Question

19．已知函数f（x）=2${cos^2}x+sin（{\frac{7π}{6}-2x}）-1（{x∈R}）$；
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点$（{A，\frac{1}{2}}）$，若${\overrightarrow{AB}^2}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BC}$=4，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，可化简f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）由已知${\overrightarrow{AB}^2}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BC}$=4，化简整理可得bc=8，再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA结合不等式即可求得a的最小值．

解答 解：（1）$f（x）=2{cos^2}x+sin（{\frac{7π}{6}-2x}）-1=sin（2x+\frac{π}{6}）$
因此，最小正周期为T=π…（3分），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）…（5分）
（2）由题知：${\overrightarrow{AB}^2}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BC}$=c²+b²-bccosA-a²=2bccosA-bccosA=$\frac{1}{2}$bc=4，
∴bc=8，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc=8，
∴a≥2$\sqrt{2}$，
∴a的最小值为2$\sqrt{2}$…（10分）

点评 本题考查三角恒等变换及其应用，考查向量的数量积、余弦定理与基本不等式的综合应用，属于中档题．