Question

（本题小满分12分）已知函数，．

（1）求证：函数必有零点；

（2）设函数，若在上是减函数，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）由条件，从而问题等价于证明一元二次方程必有实数根，通过计算易证其是正确的；（2）由题意得：，，从而需对的取值进行分类讨论，得到的大致草图，再由条件在上是减函数从而进一步得到关于的不等式，即可得到或．

试题解析：（1），则

，知函数必有零点；

（2），

，

① 当，即时，，

若在上是减函数，则，即，∴时，符合条件，

② 当，即或时，

若，则，要使在上是减函数，则，∴，

若，则，显然在上是减函数，∴，综上，或．

考点：1．二次函数与一元二次方程；2．二次函数的单调性．