Question

（本题满分15分） 如图，在中，°，，，，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若是的中点，求与平面所成角的大小；

（Ⅲ）点是线段的靠近点的三等分点，点是线段上的点，直线过点且垂直于平面，求点到直线的距离的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）与平面所成角的大小；（Ⅲ）点到直线的距离有最小值.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求证：平面，只需证明垂直平面内两条相交直线即可，而，只需再找一条直线垂直即可，结合折叠前图形可知，平面，可得，从而可得平面；（Ⅱ）求与平面所成角的大小，可用向量法来求，注意到这三条直线两两垂直，因此可以它们建立如图空间坐标系，写出各点的坐标，得向量，设平面法向量为，求出一个法向量，利用线和面所成角的正弦值等于线和法向量所成角的余弦值，即可；（Ⅲ）点到直线的距离的最小值，像这种点不确定可用向量法来解，先确定点的坐标为，利用三点共线，可设，，，可得在直线上的射影为的坐标，利用两点间距离公式，与二次函数可得点到直线的距离有最小值.

试题解析：（Ⅰ）由题，，

平面，又平面，

又，

平面．

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则，

，，∴，

设平面法向量为

则 ∴ ∴

∴不妨取又∵

∴

∴，

∴与平面所成角的大小．

（Ⅲ）设，则，

由题，即

设，，

设，即=

，，

即，，

设点在直线上的射影为， 则

点到直线的距离的平方

由题，故当时，点到直线的距离有最小值

考点：线面垂直的判定，线面角的求法，点到直线的距离.