在平面直角坐标系xOy中.已知半径为2的圆C.圆心在x轴正半轴上.且与直线x-$\sqrt{3}$y+2=0相切．(1)求圆C的方程,(2)在圆C上.是否存在点P.满足|PQ|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$|PO|.其中.点Q的坐标是Q．若存在.指出有几个这样的点,若不存在.请说明理由,(3)若在圆C上存在点M(m.n).使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．在平面直角坐标系xOy中，已知半径为2的圆C，圆心在x轴正半轴上，且与直线x-$\sqrt{3}$y+2=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）在圆C上，是否存在点P，满足|PQ|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$|PO|，其中，点Q的坐标是Q（-1，0）．若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
（3）若在圆C上存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交不同两点A，B，求m的取值范围．并求出使得△OAB的面积最大的点M的坐标及对应的△OAB的面积．

分析（1）根据直线和圆相切，根据点到直线的距离等于半径，建立方程进行求解即可；
（2）根据|PQ|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$|PO|，建立方程关系，进行判断即可；
（3）根据直线和圆相交的性质，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答解：（1）设圆心是（a，0），（a＞0），它到直线x-$\sqrt{3}$y+2=0的距离是d=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+3}}$=2，
解得a=2或a=-6（舍去），所以，所求圆C的方程是（x-2）²+y²=4．（4分）
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由$PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}PO$，得x²+y²+4x+2=0．（6分）
即，点P在圆D：（x+2）²+y²=2上，点P也在圆C：（x-2）²+y²=4上．
因为$|{CD}|=4＞{r_c}+{r_d}=2+\sqrt{2}$，所以圆C与圆D外离，圆C与圆D没有公共点．
所以，不存在点P满足条件．（8分）
（3）存在，理由如下：因为点M（m，n），在圆C上，所以（m-2）²+n²=4，
即n²=4-（m-2）²=4m-m²且0≤m≤4．
因为原点到直线l：mx+ny=1的距离h=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4m}}$＜1，解得$\frac{1}{4}$＜m≤4 （10分）
而|AB|=2$\sqrt{1-{h}^{2}}$，
所以S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|h=$\sqrt{{h}^{2}-{h}^{4}}$=$\sqrt{\frac{1}{4m}-（\frac{1}{4m}）^{2}}$=$\sqrt{-（\frac{1}{4m}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
因为$\frac{1}{16}≤$$\frac{1}{4m}$＜1，所以当$\frac{1}{4m}$=$\frac{1}{2}$，即m=$\frac{1}{2}$时，S_△OAB取得最大值$\frac{1}{2}$，
此时点M的坐标是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$）或（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$），△OAB的面积的最大值是$\frac{1}{2}$．（12分）