Question

17．已知焦点在y轴上的椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$），不过椭圆顶点的动直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点．求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）求三角形AOB面积的最大值，并求取得最值时直线OA、OB的斜率之积．

Answer 1

分析 （1）由题意得方程组$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）作图辅助，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而化简由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，从而求|AB|的长及三角形的高，从而化简三角形的面积，从而求最大值，并化简求直线OA、OB的斜率之积．

解答 解：（1）由题意知，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得，a=2，b=1；
故椭圆C的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，
化简得，（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0，
故x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，
故|x₁-x₂|=$\sqrt{（\frac{-2km}{{k}^{2}+4}）^{2}-4\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}}$=$\frac{4}{{k}^{2}+4}$•$\sqrt{{k}^{2}-{m}^{2}+4}$；
故|AB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|x₁-x₂|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4}{{k}^{2}+4}$•$\sqrt{{k}^{2}-{m}^{2}+4}$；
点O到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
故S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{{k}^{2}+4}$•$\sqrt{{k}^{2}-{m}^{2}+4}$•|m|
=2$\sqrt{\frac{（{k}^{2}-{m}^{2}+4）{m}^{2}}{（{k}^{2}+4）^{2}}}$=2$\sqrt{-（\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+4}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
故当$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+4}$=$\frac{1}{2}$，即2m²=k²+4时，
S有最大值2×$\frac{1}{2}$=1；
k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{-4{k}^{2}+4{m}^{2}}{{m}^{2}-4}$，
∵2m²=k²+4，
∴$\frac{-4{k}^{2}+4{m}^{2}}{{m}^{2}-4}$=$\frac{16-4{m}^{2}}{{m}^{2}-4}$=-4．
即直线OA、OB的斜率之积为-4．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及数形结合的思想方法应用，同时考查了整体思想与韦达定理的应用．