Question

1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）先把半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程；
（2）已知直线l：y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+6，点P在半圆C上，且点P到直线l的距离为半圆C上的点到直线l的距离的最小值，根据（1）中得到的参数方程，确定点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把极坐标方程化为直角坐标方程．进而得到半圆C的参数方程．
（2）作直线l的平行线l'，当直线l'与半圆C相切时，切点即为P，由（1）知半圆C的圆心为C（0，2），则CP⊥l，可得k_CP=$\sqrt{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由ρ=4sinθ得ρ²=4ρsinθ，可得半圆C的直角坐标方程为x²+y²-4y=0，即x²+（y-2）²=4，0≤x≤2．
∴半圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosϕ}\\{y=2+2sinϕ}\end{array}}\right.（ϕ为参数，-\frac{π}{2}≤ϕ≤\frac{π}{2}）$．
（2）作直线l的平行线l'，当直线l'与半圆C相切时，切点即为P，
由（1）知半圆C的圆心为C（0，2），则CP⊥l，
因此${k_{CP}}=\frac{2+2sinϕ-2}{2cosϕ-0}=tanϕ=\sqrt{3}$，
解得$ϕ=\frac{π}{3}$，
∴点$P（1，2+\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、三角函数基本关系式、直线与圆相切的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．