Question

1．已知f（x）=ax-lnx，a∈R．
（1）若f（x）在x=1处有极值，求f（x）的单调递增区间；
（2）当a=1，$x∈[\frac{1}{e}，e]$时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（1）=0，f′（x）=a-1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调增区间．
（2）利用函数的导数结合（1）函数的单调区间，求出函数的最值即可得到函数的值域．

解答 解：（1）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=ax-lnx，∴f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=0，
f′（1）=a-1=0，∴a=1，
经检验，a=1时，f（x）在x=1处有极值，
∴f（x）=x-lnx，令f′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，解得x＞1或x＜0，
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＞0的解集为（1，+∞），
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）．
（2）a=1时，f（x）=x-lnx，令f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
f（x）的单调增区间为（1，+∞）．f（x）的单调增减区间为（0，1）．
x=1时函数取得最小值：f（1）=1
f（e）=e-1，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+1，
当a=1，$x∈[\frac{1}{e}，e]$时，f（x）的值域为：[1，e-1]．

点评 本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，转化思想等综合解题能力．