Question

已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，求证：．

 

Answer 1

（1）在上递减，在上递增；（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）时，。先求导并通分整理，再令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间。（2）先求导，因为函数在处取得极值，则，可得的值。对,恒成立等价于恒成立，令，求导，讨论导数的符号，可得函数的单调性，根据单调性可得函数的最值，则。（3），令，因为则只要证明在上单调递增。即证在上恒成立。将函数求导，分析其导数的单调性，根据其单调性求最值，证得即可。

（1）

得0<x<,得x>

∴在上递减，在上递增.

（2）∵函数在处取得极值，∴，

∴，

令，可得在上递减，在上递增，

∴，即.

（3）证明：，

令，则只要证明在上单调递增，

又∵，

显然函数在上单调递增．

∴，即，

∴在上单调递增，即，

∴当时，有.

考点：1用导数研究函数的单调性及最值；2转化思想。