Question

若关于x的不等式（4+m）cosx+sin²x-4＞0在时恒有解，则实数m的 取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：不等式即（4+m）cosx-cos²x-3＞0，由，得0＜cosx≤1，令cosx=t，则m＞t+-3 在（0，1]上恒有解，利用单调性求得当t=1时，
f（t）=t+-3有最小值为0，故有 m＞0．
解答：解：关于x的不等式（4+m）cosx+sin²x-4＞0即 （4+m）cosx-cos²x-3＞0．∵，∴0＜cosx≤1，故不等式即 m＞cosx+-3．
令cosx=t，0＜t≤1，则m＞t+-3．由于函数 f（t）=t+-3在（0，1]上单调递减，故当t=1时，f（t）有最小值为0，
由题意可得 m＞f（t） 在（0，1]上恒有解，故 m＞0．
故选：A．
点评：本题主要考查求函数的最值的方法，余弦函数的定义域和值域，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．