Question

18．已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为$\sqrt{6}$，则三棱锥P-ABC的体积为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根据展开图的形状计算棱锥的棱长，得出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 解：设正三棱锥的棱长为a，则$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•$\frac{1}{3}$=$\sqrt{6}$，
解得a=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴棱锥的高为$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴棱锥的体积V=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}•\sqrt{3}$=$\frac{9}{8}$．
故答案为$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了棱锥的侧面展开图，棱锥的体积计算，属于中档题．