Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos²x，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{b}$=（1，cosx），函数f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+m，且当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，f（x）的最小值为2．
（Ⅰ）求m的值，并求f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）²]-f（x），x∈[0，$\frac{π}{6}$]，求g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量数量积的坐标运算，利用三角恒等变换公式，即可求出结果；
（Ⅱ）求出f（x）的值域，再用换元法计算设f（x）=t，求y=g（t）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（cos²x，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{b}$=（1，cosx），
∴f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+m
=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+m
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+m+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
又x∈[0，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）的最小值为m+2=2，解得m=0；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得f（x）图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，f（x）∈[2，3]；
设f（x）=t，则y=g（t）=t²-t，t∈[2，3]，
∴t=3时y取得最大值6；
即函数g（x）的最大值为6．

点评 本题考查了平面向量的数量积以及三角恒等变换的应用问题，也考查了复合函数的最值问题，是基础题目．