题目内容

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆的半径R=1，则（4a2+9b2+c2）（
1
sin2A
+
1
sin2B
+
1
sin2C
）的最小值为
 
．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：由正弦定理求出
1
sin2A
、
1
sin2B
、
1
sin2C
，代入式子化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．
解答： 解：因为外接圆的半径R=1，所以
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2，
则
1
sin2A
=
4
a2
、
1
sin2B
=
4
b2
、
1
sin2C
=
4
c2
，
所以（4a2+9b2+c2）（
1
sin2A
+
1
sin2B
+
1
sin2C
）
=（4a2+9b2+c2）（
4
a2
+
4
b2
+
4
c2
）
=16+
16a2
b2
+
16a2
c2
+
36b2
a2
+36+
36b2
c2
+
4c2
a2
+
4c2
b2
+4
=56+（
16a2
b2
+
36b2
a2
）+（
16a2
c2
+
4c2
a2
）+（
36b2
c2
+
4c2
b2
）
≥56+2
16a2
b2
•
36b2
a2
+2
16a2
c2
•
4c2
a2
+2
36b2
c2
•
4c2
b2

=56+48+16+24=144，（当且仅当c=
2
a=
3
b时取等号），
故所求的最小值是144，
故答案为：144．
点评：本题考查正弦定理，以及基本不等式的应用，注意等号成立的条件的验证，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
证明：函数y=|Asin（ωx+φ）|的最小正周期为
π
ω
（其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0），x∈R．
已知全集U=R，若集合A={x|x2-x＜0}，则∁UA=（　　）
A、{x|x≤0，或x≥1}
B、{x|x＜0，或x＞1}
C、{x|0＜x＜1}
D、{x|x≥1}
若复数Z1=1+i，Z2=3-i，则
Z2
Z1
=
 
．
计算：210-C
 
1
10
29+C
 
2
10
28-C
 
3
10
27+…-C
 
9
10
2=
 
．
已知函数f（x）=-x2-2x，g（x）=
x+
1
4x
，x＞0
x+1，x≤0
若方程g[f（x）]-a=0的实数根的个数有4个，则a的取值范围（　　）
A、[1，
5
4
)
B、[1，+∞）
C、（1，+∞）
D、(-
5
4
，1]
已知三条直线x-2y+1=0、x-1=0、2x+y-m=0将圆面（x-1）2+（y-1）2≤1划分为七部分，则实数m的取值范围是（　　）
A、（1，4）
B、（2，4）
C、（2，3）∪（3，4）
D、（1，3）∪（3，4）
已知sin[α-
(2n+1)π
2
]=
3
5
，α∈（0，
π
2
）∪（
π
2
，π），求tanα+cotα的值．
等比数列的前三项a1，a2，a3的和为定值m（m＞0），且其公比为q＜0，令t=a1a2a3，则t的取值范围为（　　）
A、[-m3，0）
B、[-m3，+∞）
C、（0，m3]
D、（-∞，m3]

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