Question

2．已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[-1，5]，求实数a，m的值；
（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．
（Ⅱ）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）≤m，
∴|x-a|≤m，
即a-m≤x≤a+m，
∵f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-m=-1}\\{a+m=5}\end{array}\right.$，解得a=2，m=3．
（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x-2|，
则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x-2|+t≥|x|．
当x≥2时，x-2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．
当0≤x＜2时，2-x+t≥x，即0≤x≤$\frac{t+2}{2}$成立．
当x＜0时，2-x+t≥-x，即t≥-2恒成立．
综上不等式的解集为（-∞，$\frac{t+2}{2}$]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．