Question

在四棱锥中，//，，，平面，.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

 

Answer 1

（1）见解析（2），（3）

【解析】

试题分析：（1）建立如图所示坐标系，

写出坐标，可得坐标，由＝，＝知，.所以平面；（2）由向量的夹角可知异成直线与所成角；（3）为线段上一点，设其中可得，由直线与平面所成角的正弦值为，利用与平面的法向量夹角,可得.其中为直线与平面所成角.．即 .

试题解析：（1）证明：因为，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， １分

则，，，.

所以 ，，

， ２分

所以，

.

所以 ，.

因为 ，平面，

平面，

所以 平面. ４分

（2） ， ５分

异成直线与所成角的余弦值 8分

（3）【解析】
设（其中），，直线与平面所成角为.

所以 .所以 .

所以 即. ９分

所以 .

平面的一个法向量为. １０分

因为 ，

所以 . １１分

解得 .所以 . 12分

考点：本题主要考查空间向量的运算，线面之间的位置关系，线与线所成的角；考查空间想象能力，化归能力.