Question

18．如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

Answer 1

分析 设小正方形的边长为x，可得盒子高h=x，底边长为a-2x，可得盒子容积V=x（a-2x）²，（0＜x＜$\frac{a}{2}$），再由三元基本不等式，a+b+c≥3$\root{3}{abc}$，即可得到所求最大值．

解答 解：设小正方形的边长为x，
则盒子高h=x，底边长为a-2x，
得盒子容积V=x（a-2x）²，（0＜x＜$\frac{a}{2}$），
由V=$\frac{1}{4}$•4x•（a-2x）•（a-2x）≤$\frac{1}{4}$•（$\frac{4x+a-2x+a-2x}{3}$）³
=$\frac{1}{4}$•$\frac{8{a}^{3}}{27}$=$\frac{2{a}^{3}}{27}$，
当且仅当4x=a-2x，即x=$\frac{a}{6}$∈（0，$\frac{a}{2}$），取得最大值．
故切去的正方形边长是$\frac{a}{6}$时，才能使盒子的容积最大．

点评 本题考查函数模型问题的解法，注意运用三元基本不等式求得最值，设出自变量求得函数的解析式是解题的关键，属于基础题．