Question

18．已知函数f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）=e^x-$\frac{1}{x-1}$，若f（-a）+f（a）≤2f（1），则实数a取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• B． [-1，0]
• C． [0，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 利用偶函数的性质将不等式等价转化，由基本初等函数和复合函数的单调性，判断出f（x）在（-∞，0]上单调性，由偶函数的性质判断出在[0，+∞）上的单调性，由单调性列出不等式，求出a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴不等式f（a）+f（-a）≤2f（1）等价为2f（a）≤2f（1），
即f（a）≤f（1），
∴等价为f（|a|）≤f（1），
∵当x≤0时，f（x）=e^x-$\frac{1}{x-1}$，
∴f（x）在区间（-∞，0]上单调递增，
∴偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
∴|a|≥1，即a≤-1或a≥1，
则实数a取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞），
故选：A．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性，基本初等函数的单调性，利用函数奇偶性的性质、单调性将不等式等价转化是解题的关键，考查了函数思想、转化思想．