Question

20．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E，F分别为DC，AB的中点，将△DAE沿AE知折起，使得二面角D-AE-B的大小为120°．
（1）求证：平面DCF⊥平面DCE；
（2）求二面角E-DC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知AE⊥DE，AE⊥CE，则AE⊥面DCE，由此能证明平面DCF⊥平面DCE．
（2）作EM⊥DC，连接AM，则AM⊥DC，∠AME即为所求二面角的平面角，由此能求出二面角E-DC-A的余弦值．

解答 证明：（1）由已知AE⊥DE，AE⊥CE，DE∩CE=E，
∴AE⊥面DCE，…（2分）
又AE∥CF，∴CF⊥面DCE，CF?面DCF，
∴平面DCF⊥平面DCE．…（5分）
解：（2）∵AE⊥面DCE，
作EM⊥DC，连接AM，则AM⊥DC，
∴∠AME即为所求二面角的平面角，…（7分）
∵AE⊥DE，AE⊥CE，∴∠DCE=120°，∴DC=$\sqrt{3}$，…（9分）
在Et△AME中，AE=$\sqrt{3}$，ME=$\frac{1}{2}$，
∴cos∠AME=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角E-DC-A的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．