Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.

 

Answer 1

（1）见解析 （2）

【解析】(1)在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C，所以sin B(＋)＝·，

所以sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C.

所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C.

又A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋C)＝sin B，

所以sin2B＝sin Asin C.

由正弦定理得b2＝ac，

即a，b，c成等比数列．

(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝.

由余弦定理得

cos B＝＝＝.

因为0<B<π，所以sin B＝＝，

故△ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝.