Question

14．若（x+$\frac{1}{x}$）（3x-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中各项的系数之和为64．
（Ⅰ）求n的值．
（Ⅱ）求展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=1，则$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$展开式中各项系数和为2ⁿ⁺¹=64，解出n即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$=$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^5}$，要求展开式的常数项，只需求${（3x-\frac{1}{x}）^5}$展开式中含$x和\frac{1}{x}$的项，利用通项公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）令x=1，则$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$展开式中各项系数和为2ⁿ⁺¹=64，
解得：n=5．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^n}$=$（x+\frac{1}{x}）{（3x-\frac{1}{x}）^5}$，
要求展开式的常数项，只需求${（3x-\frac{1}{x}）^5}$展开式中含$x和\frac{1}{x}$的项．
由通项公式得${T_{r+1}}=C_5^r{（3x）^{5-r}}{（-\frac{1}{x}）^r}=C_5^r{3^{5-r}}{（-1）^r}{x^{5-2r}}$，
令5-2r=±1，得r=2或r=3．
所以该展开式中的常数项为$C_5^2{3^3}-C_5^3{3^2}=180$．

点评 本题主要考查二项展开式等基础知识，考查运算化简能力、推理计算能力、化归转化思想，属于中档题．