Question

20．已知等差数列{a_n}的公差d＞0，且满足：a₃a₆=55，a₂+a₇=16，数列{b_n}满足：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项的和为T_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求T_n及T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设可得d=2，a₁=1，从而能够得到数列{an}的通项公式；
（2）因为b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用列项相消法求和即可，再利用放缩即可证明．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0
由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16①
由a₃•a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①得2a₁=16-7d，将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220，
即256-9d²=220，
9d²=36，解得：d=±2，
又{a_n}是一个大于0的等差数列，
因此d=-2不符合题意舍去，所以d=2，代入①得a₁=1，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）因为b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
所以T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$
所以T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
当n=1时，T_n=$\frac{1}{4}$
所以T_n的取值范围[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与列项相消法求和以及放缩法，考查运算求解能力，属于中档题．