Question

（理科） 已知数列{a_n}满足．
（1）若，计算a₂，a₃，a₄的值，并写出数列{a_n}（n∈N⁺，n≥2）的通项公式；
（2）是否存在，使得当时，a_n恒为常数，若存在，求出a₁，n₀，否则说明理由；
（3）若a₁=a∈（k，k+1），（k∈N⁺），求{a_n}的前3k项的和S_3k（用k，a表示）．

Answer 1

解：（1）∵，∴a₂=，a₃=，a₄=
∴，n≥2时，a_n=，其中k∈N^*
（2）因为存在a_n+1=|a_n-1|=，
所以当a_n≥1时，a_n+1≠a_n
①若0＜a₁＜1，则a₂=1-a₁，a₃=1-a₂=a₁，此时只需：a₂=1-a₁=a₁，∴，故存在，，（n∈N^*）
②若a₁=b≥1，不妨设b∈[m，m+1），m∈N^*，易知a_m+1=b-m∈[0，1），
∴a_m+2=1-a_m+1=1-（b-m）=a_m+1=b-m
∴b=m+，∴a₁=m+，n≥m+1时，a_n=，（m∈N^*）
③若a₁=c＜0，不妨设c∈（-l，-l+1），l∈N^*，易知a₂=-c+1∈（l，l+1]，
∴a₃=a₂-1=-c，a_l+2=-c-（l-1）∈（0，1]
∴c=-l+，∴a₁=-l+（l∈N*），n≥l+2，则a_n=
故存在三组a₁和n₀：a₁=时，n₀=1；a₁=m+时，n₀=m+1；a₁=-m+时，n₀=m+2其中m∈N^*
（3）当a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）时，
易知a₂=a-1，a₃=a-2，a_k=a-（k-1），
a_k+1=a-k∈（0，1），a_k+2=1-a_k+1=k+1-a，
a_k+3=1-a_k+2=a-k，a_k+4=1-a_k+3=k+1-a，
a_3k-1=a-k，a_3k=k+1-a
∴S_3k=a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+2+a_k+3+a_k+4+…+a_3k-1+a_3k=a+（a-1）+（a-2）+…+a-（k-1）+k-+k（a+）
分析：（1）由数列a_n满足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），，我们分别求出a₂，a₃，a₄的值，分析变化的周期性规则，即可得到{a_n}的表达式；
（2）分a_n≥1时，0＜a₁＜1时，a₁=b≥1时和a₁=c＜0时，几种情况，分别进行讨论，最后将讨论结论综合，即可得到结论；
（3）当a₁=a∈（k，k+1）（k∈N^*）时，易知a₂=a-1，a₃=a-2，…，a_k=a-（k-1），利用拆项法，即可得到答案．
点评：本题考查数列递推公式及数列求和，其中正确理解数列的递推公式，并能准确的对a进行分类讨论，是解答本题的关键．