Question

16．在△ABC中，边AC长为$\sqrt{5}$，|${\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}}$|=2$\sqrt{5}$，D是BC边上的点，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，则cos∠BAC=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 △ABC中，设E为边AB的中点，由$|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=2\sqrt{5}$，可得CE=$\sqrt{5}$．D是BC边上的点，且$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，可得AD⊥BC．设DC=x，则BD=2x．设AE=EB=y，由中线长定理可得：$（\sqrt{5}）^{2}$+（3x）²=2y²+2×$（\sqrt{5}）^{2}$，由勾股定理可得：4y²-4x²=$（\sqrt{5}）^{2}-{x}^{2}$，联立解出，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：△ABC中，设E为边AB的中点，∵$|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=2\sqrt{5}$，∴CE=$\sqrt{5}$．
D是BC边上的点，且$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，∴AD⊥BC．
设DC=x，则BD=2x．设AE=EB=y，
由中线长定理可得：$（\sqrt{5}）^{2}$+（3x）²=2y²+2×$（\sqrt{5}）^{2}$，化为9x²-2y²=5．
由勾股定理可得：4y²-4x²=$（\sqrt{5}）^{2}-{x}^{2}$，化为：3x²+5=4y²．
联立解得：x=1，y=$\sqrt{2}$．
AB=2$\sqrt{2}$，BC=3．
则cos∠BAC=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-{3}^{2}}{2×2\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故选：D．

点评 本题考查了中线长公式和勾股定理、数量积运算性质、向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．