Question

已知A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(?x+?)(?＞0,＜?＜0)图象上的任意两点，且角?的终边经过点P(l，-)，若|f(x1)-f(x2)|=4时，|x1-x2|的最小值为.

(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈时，不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围.

 

Answer 1

（1）f(x)=2sin(3x-)；（2）[+，+]， k∈Z；（3）[，+?).

【解析】

试题分析：（1）由角?的终边经过点P(l，-)及＜?＜0可求得?的值，又|f(x1)-f(x2)|=4时，|x1-x2|的最小值为可最小正周期为，从而可求出?的值，即可求出其表达式；（2）由复合函数的知识可令3x-=u，只需令+2k?≤u≤+2k?，解出x的范围即是函数的单调递增区间；（3）不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立要求m的范围，只需用分离变量的作法，等价于，而x∈，可求出f(x)的范围，从而可求出的最大值，则m恒大于或等于其最大值.

试题解析：(1)角?的终边经过点P(1，-)，tan?=-，∵＜?＜0，∴?=-.由|f(x1)-f(x2)|=4时，|x1-x2|的最小值为，得T=，即=，∴?=3，∴f(x)=2sin(3x-)

(2)令+2k?≤3x-≤+2k?，得+≤x≤+，k∈Z

∴函数f(x)的单调递增区间为[+，+]，k∈Z.

(3)当x∈时，-≤f(x)≤1，所以2+f(x)＞0，mf(x)+2m≥f(x)等价于.由-≤f(x)≤1，得的最大值为，所以实数m的取值范围是[，+?).

考点：三角函数的定义，三角函数的周期公式，正弦函数的单调区间，恒成立问题，分离变量法，转化思想.