Question

如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形是菱形，，是的中点，是的中点.

（1）求证：平面.

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）取的中点，连接.由题意知且，且

，所以且，即四边形是平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面.（2）.

【解析】

试题分析：（1）取SC中点R，连接QR，DR，根据线面平行的判定定理，在平面上找出一条直线与已知直线平行，即证，从而有平面.（2）以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，只要求得两半平面的一个法向量即可，先求得相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，然后用向量的夹角公式求解.

试题解析：（1）取的中点，连接.由题意知且，且

，所以且，即四边形是平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，则，平面的法向量，设是平面的法向量，

由，令，得

,

又二面角的平面角是锐角，所以二面角的平面角的余弦值是.

考点：直线与平面平行的判定；用空间向量求空间的角；二面角的平面角的求法.