Question

6．已知圆C的坐标方程为ρ²+2ρ（sinθ+cosθ）-4=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求圆C的半径；
（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程即ρ²+2ρsinθ+2ρcosθ-4=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数），消去t化为直线l的普通方程为x+2y-2=0，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离d，利用AB=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程即ρ²+2ρsinθ+2ρcosθ-4=0，
则圆C的直角坐标方程为x²+y²+2x+2y-4=0，
即（x+1）²+（y+1）²=6，
所以圆C的半径为$\sqrt{6}$．  
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t为参数）化为直线l的普通方程为x+2y-2=0，
由（1）知，圆C的圆心为C（-1，-1），
圆心C到直线l的距离d=$\frac{|-1-2-2|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
∴AB=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2，即AB的长为2．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．