Question

已知函数f（x）=

ex+m

ex+1

，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，1]
• B、[0，1]
• C、[1，2]
• D、[

  1

  2

  ，2]

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得则f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论m转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数m的取值范围．

解答： 解：由题意可得，f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，
∵函数f（x）=

ex+m

ex+1

=

ex+1+m-1

ex+1

=1+

m-1

ex+1

，
∴当m≥1时，函数f（x）在R上是减函数，函数的值域为（1，m）；
故f（a）+f（b）＞2，f（c）＜m，∴m≤2 ①．
当m＜1时，函数f（x）在R上是增函数，函数的值域为（m，1）；
故f（a）+f（b）＞2m，f（c）＜1，
∴2m≥1，m≥

1

2

 ②．
由①②可得

1

2

≤m≤2，
故选：D．

点评：本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．