Question

13．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB，PB=6D是PB的中点，E是PC上一点．
（Ⅰ） 若DE⊥PB，求$\frac{PE}{EC}$的值；
（Ⅱ）若点Q是平面ABC内一点，且|QA|=2|QC|，求点Q在△ABC内的轨迹长度．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABC可得PA⊥BC，又BC⊥AC，故而BC⊥平面PAC，于是BC⊥PC，又DE⊥PB故△PDE～△PCB，利用勾股定理和相似比求出PE，CE得出比值；
（2）在平面ABC上建立平面直角坐标系，求出Q点的轨迹为圆，利用弧长公式计算点Q在△ABC内的轨迹长度．

解答 解：（I）∵AB为直径，∴AC⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又AC∩PA=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，
∴BC⊥PC，
∵PB=6，PA=AB，
∴$PA=AB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}PB=3\sqrt{2}$，$AC=BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB=3$，
$PC=\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\sqrt{P{B^2}-A{B^2}}=3\sqrt{3}$．PD=$\frac{1}{2}$PB=3．
在Rt△PBC中，∵DE⊥PB，∴△PDE～△PCB，∴$\frac{PD}{PC}=\frac{PE}{PB}$，
∴$PE=\frac{PB•PD}{PC}=\frac{6×3}{{3\sqrt{3}}}=2\sqrt{3}$，$EC=PC-PE=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴$\frac{PE}{EC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}=2$．
（II）以点C为坐标原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立如图所示的面直角坐标系，
则A（0，3），C（0，0）．
设动点Q的坐标为（x，y），
则|QA|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$，|QC|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
整理可得：x²+（y+1）²=4，
即Q的轨迹是以P（0，-1）为圆心，以2为半径的圆，
设Q的轨迹与x轴，y轴的交点分别为M，N，则M（$\sqrt{3}$，0），N（0，1）．
连结PM，PN，则sin∠MPN=$\frac{MC}{PM}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠MPN=$\frac{π}{3}$．
∴点Q在△ABC内的轨迹长度$\widehat{MN}$=$\frac{π}{3}×2$=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，轨迹方程，弧长公式，属于中档题．