Question

11．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=b₁=1，且b₃S₃=36，b₂S₂=8（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若a_n＜a_n+1，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（2）a_n＜a_n+1，由（1）知a_n=2n-1，${b_n}={2^{n-1}}$．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=b₁=1，且b₃S₃=36，b₂S₂=8（n∈N^*）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}（3+3d）=36}\\{q（2+d）=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{2}{3}}\\{q=6}\end{array}\right.$．
∴a_n=2n-1，b_n=2^n-1；或a_n=1-$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{5-2n}{3}$，b_n=6^n-1．
（2）∵a_n＜a_n+1，∴由（1）知a_n=2n-1，${b_n}={2^{n-1}}$．
∴${T_n}=1+3×2+5×{2^2}+…+（2n-1）×{2^{n-1}}$．
∴2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ=1+$\frac{2×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）×2ⁿ=-（2n-3）×2ⁿ-3．
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ+3．（n∈N^*）

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．