Question

14．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别是F₁，F₂，短轴一个端点M（0，b），直线l：4x+3y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF₁|+|BF₁|=6，点M到直线l的距离不小于$\frac{6}{5}$，则椭圆E的离心率范围是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{5}}}{3}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{5}}}{3}，1）$
• C． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 设F′为椭圆的左焦点，则四边形AFBF′是平行四边形，由此推导出a=3，b≥2．从而能求出椭圆E的离心率范围．

解答 解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，
连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形
∴6=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=3．
取M（0，b），∵点M到直线l：4x+3y=0的距离不小于$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{|3b|}{\sqrt{16}+9}$$≥\frac{6}{5}$，解得b≥2．
∴c≤$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
∴0＜$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴椭圆E的离心率范围是（0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．