Question

设a是正实数，若f（x）=

x2-6ax+10a2

+

x2+2ax+5a2

，（x∈R）的最小值为10，则a=

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：f（x）=

(x-3a)2+(0-a)2

+

(x+a)2+(0+2a)2

表示P（x，0）到两点M（3a，a），N（-a，-2a）的距离之和．当且仅当点P在线段MN上时取得最小值10，利用两点之间的距离公式即可得出．

解答： 解：f（x）=

(x-3a)2+(0-a)2

+

(x+a)2+(0+2a)2

表示P（x，0）到两点M（3a，a），N（-a，-2a）的距离之和．
当且仅当点P在线段MN上时取得最小值10，
∴|MN|=

16a2+9a2

=10，a＞0，解得a=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了两点之间的距离公式的应用，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．