已知函数 f (x)=sinx-xcosx．现有下列结论:①?x∈[0.π].f(x)≥0,②若0＜x1＜x2＜π.则$\frac{{x} {1}}{{x} {2}}$＜$\frac{{sin{x 1}}}{{sin{x 2}}}$,③若a＜$\frac{sinx}{x}$＜b对?x∈[0.$\frac{π}{2}$]恒成立.则 a的最大值为$\frac{2}{π}$.b 的最小值为1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知函数 f （x）=sinx-xcosx．现有下列结论：
①?x∈[0，π]，f（x）≥0；
②若0＜x₁＜x₂＜π，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{sin{x_1}}}{{sin{x_2}}}$；
③若a＜$\frac{sinx}{x}$＜b对?x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，则 a的最大值为$\frac{2}{π}$，b 的最小值为1．
其中正确结论的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

分析（1）?x∈[0，π]，f′（x）≥0，故函数f（x）为增函数，故f（x）≥f（0）=0．
（2）令F（x）+$\frac{sinx}{x}$，求得F′（x），从而可判断F（x）＜0，F（x）为减函数，从而得出$\frac{si{nx}_{1}}{{x}_{1}}$＞$\frac{si{nx}_{2}}{{x}_{2}}$，可得结论．
（2）当x＞0时，a＜$\frac{sinx}{x}$＜b”等价于“sinx-ax＞0，sinx-bx＜0”构造函数g（x）=sinx-cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．

解答解：∵函数 f （x）=sinx-xcosx，∴函数 f′（x）=cosx-cosx-x（-sinx）=xsinx，
∴?x∈[0，π]，f′（x）≥0，故函数f（x）在[0，π]上为增函数，故f（x）≥f（0）=0，故①正确．
∵F′（x）=${（\frac{sinx}{x}）}^{′}$=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，x∈[0，π]，从而可判断F（x）＜0，f′（x）为减函数，
若0＜x₁＜x₂＜π，则$\frac{si{nx}_{1}}{{x}_{1}}$＞$\frac{si{nx}_{2}}{{x}_{2}}$，即 $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{sin{x_1}}}{{sin{x_2}}}$，故②正确．
当x＞0时，“$\frac{sinx}{x}$＞a”等价于“sinx-ax＞0”，“$\frac{sinx}{x}$＜b”等价于“sinx-bx＜0”．
令g（x）=sinx-cx，则g′（x）=cosx-c，
当c≤0时，g（x）＞0对x∈[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
当c≥1时，因为对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，g′（x）=cosx-c＜0，
所以g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减，
从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
当0＜c＜1时，存在唯一的x₀∈[0，$\frac{π}{2}$）使得g′（x₀）=cosx₀-c=0，
g（x）与g′（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的情况如下：

x	（0，x₀）	x₀	[x₀，$\frac{π}{2}$]
g′（x）	+		-
g（x）	↑		↓

因为g（x）在区间（0，x₀）上是增函数，
所以g（x₀）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
当且仅当g（$\frac{π}{2}$）=1-$\frac{πc}{2}$≥1，即0＜c≤$\frac{2}{π}$，
综上所述当且仅当c≤$\frac{2}{π}$时，g（x）＞0对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]）恒成立，
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
所以若a＜$\frac{sinx}{x}$＜b对x∈[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，则a的最大值为$\frac{2}{π}$，b的最小值为1，故③正确．
故选：D．

点评本题考查了导数的综合应用及三角函数的化简与应用，特别考查了构造函数的方法证明不等式，属于难题．